Добрый день, уважаемые читатели. Мы продолжаем цикл статей про математический анализ. Сегодня мы рассмотрим числовые ряды — что это такое, каковы их свойства, а также заглянем в признаки сходимости ряда.

Подпишись на группу Вконтакте и Телеграм-канал. Там еще больше полезного контента для программистов.
А на YouTube-канале ты найдешь обучающие видео по программированию. Подписывайся!

Определение числового ряда и понятия сходимости

Пусть задана числовая последовательность {a_n}. Выражение a_1 + a_2 + \ldots + a_n + \ldots называется числовым рядом и обозначается как \sum_{n=1}^{\infty} a_n, где a_n — члены ряда.

Сумма первых n членов ряда \sum_{n=1}^{\infty} a_n называется n-ой частичной суммой этого ряда (обозн. S_n), т. е.

    \[S_n = \sum_{k=1}^n a_k.\]

Def. Ряд

    \[\sum_{n=1}^{\infty} a_n\]


является сходящимся, если последовательность его конечных сумм ({S_n}) имеет конечный предел S, т. е.

    \[\lim_{n \to \infty} S_n = S \in \mathbb{R}.\]

Число S, определенное выше, называется суммой ряда и обозначается как

    \[\sum_{n=1}^{\infty} a_n = S.\]

Если же последовательность {S_n} не имеет конечного предела, то ряд является расходящимся.

Условия сходимости ряда

Примечание. В дальнейшем выражение

    \[a = \sum_{n=1}^{\infty} a_n,\]

означает лишь присваивание ряду имени a, а не то, что a является суммой ряда, если не оговорено обратное. Это сделано ради упрощения процесса поглощения материала.

Th. Необходимое условие сходимости ряда. Если ряд сходится, то

    \[\lim_{n \to \infty} a_n = 0.\]

    \[\circ\]

В виду того, что ряд сходится, существует его сумма S, которая является конечным пределом последовательности частичных сумм ряда. Тогда

    \[\lim_{n \to \infty} S_n = S\]


    \[\lim_{n \to \infty} S_{n-1} = S\]

Из этого следует, что

    \[\lim_{n \to \infty} S_n - S_{n-1} = \lim_{n \to \infty} a_n = S - S = 0.\]


    \[\bullet\]

Стоит заметить, что это условие не является достаточным. Самым банальным примером является гармонический ряд :

    \[\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n}\]

который является расходящимся.

Свойства рядов

Свойство №1.Пусть заданы ряды

    \[a = \sum_{n=1}^{\infty} a_n\]


    \[b = \sum_{n=1}^{\infty} b_n.\]

Если эти ряды сходятся, а их суммы соответственно равны S_1 и S_2, то \forall \lambda, \mu \in \mathbb{R} является сходящимся ряд

    \[c = \sum_{n=1}^{\infty} (\lambda \cdot a_n + \mu \cdot b_n),\]

а его сумма \tau равна

    \[\tau = \lambda \cdot S_1 + \mu \cdot S_2.\]

    \[\circ\]

Пусть S_{1n}, S_{2n}, \tau — n-ые частичные суммы рядов a, b и c. Тогда \tau_n = \lambda \cdot S_{1n} + \mu \cdot S_{2n}. Так как S_{1n} \to S_1 и S_{2n} \to S_2 при n \to \infty, то c имеет конечный предел \tau, а значит является сходящимся.

    \[\bullet\]

Свойство №2. Если сходится ряд

    \[a = \sum_{n=1}^{\infty} a_n,\]

то \forall m \in \mathbb{N} сходится ряд

    \[b = \sum_{n=m+1}^{\infty} a_n,\]

который называют m-ым остатком ряда a. Верно и обратное утверждение: если при фиксированном m ряд b сходится, то и ряд a также сходится.

    \[\circ\]

Пусть S_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_n, а \phi_{k}^{(m)} = a_{m+1} + a_{m+2} + \ldots + a_{m + k} — n-ая частичная сумма ряда a и k-ая частичная сумма b соответственно. Тогда

    \[S_n = S_m + \phi_{k}^{(m)}, n = m + k.\]

Если ряд a сходится, то {S_n} имеет конечный предел при n \to \infty, и поэтому из равенства выше следует, что последовательность \phi_{k}^{(m)}, где m фиксировано, имеет конечный предел при k \to \infty, т. е. ряд b сходится.

Верно и обратное утверждение: если m фиксировано и существует конечный

    \[\lim_{k \to \infty} \phi_k^{(m)},\]

то существует конечный

    \[\lim_{k \to \infty} S_n.\]


    \[\bullet\]

Признаки сходимости

Теперь рассмотрим несколько признаков сходимости. Они будут приведены без доказательств (за исключением одного), но с практическим примером их использования.

Критерий сходимости ряда с неотрицательными членами. Если члены ряда

    \[a = \sum_{n=1}^{\infty} a_n\]

неотрицательны, т. е. \forall n \in \mathbb{N}:a_n \ge 0, то для сходимости этого ряда необходимо и достаточно (!) , чтобы последовательность его частичных сумм {S_n} была ограничена сверху, т. е.

    \[\exists M > 0: \forall n \in \mathbb{N} : S_n = \sum_{k=1}^{\infty} a_k \le M\]


    \[\circ\]

Стоит сразу отметить, что {S_n} — последовательность нестрого возрастающая, так как S_{n+} - S_n = a_n \ge 0. Если ряд с неотрицательными членами сходится, то согласно теореме о пределе возрастающей последовательности

    \[\forall n \in \mathbb{N}:S_n \le S,\]

т. е. выполняется условие, что последовательность частичных сумм ограничена.

Обработно (док-во достаточности), если ряд a с неотрицательными членами имеет ограниченую последовательность частичных сумм, то такая последовательность имеет конечный предел.

    \[\bullet\]

Признак сравнения. Если \forall n \in \mathbb{N} выполняется условие

    \[0 \le a_n \le b_n,\]

то из сходимости ряда

    \[b = \sum_{n=1}^{\infty} b_n\]

следует сходимость ряда

    \[a = \sum_{n=1}^{\infty} a_n,\]

а из расходимости ряда a следует расходимость ряда b.

Пример. Используя признак сравнения, доказать сходимость ряда

    \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n + sin^5n + 2}{n^2}\]

.

Стоит заметить, что 0 \le (-1)^n + sin^5n \le 4. Из этого следует, что

    \[0 \le a_n \le \frac{4}{n^2}\]

.

Тогда из сходимости ряда

    \[\sum_{n=1}{\infty} \frac{4}{n^2}\]

следует сходимость ряда

    \[\sum_{n=1}{\infty} \frac{(-1)^n + sin^5n + 2}{n^2}\]

Признак Даламбера

Последний на сегодня признак (а их на самом деле очень много) — признак Даламбера.

У этого признака есть много интерпретаций, однако наиболее понятная, по мнению автора, является следующая.

Если существует предел

    \[q = \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n},\]

то рассматриваемый ряд является сходящимся, если q < 1, расходящимся при q > 1. Если q = 1, то о сходимости ряда ничего точно сказать нельзя.

Пример. Используя признак Даламбера, доказать сходимость ряда

    \[\sum_{n=1}{\infty} \frac{a^n}{n!}, a > 0.\]

    \[\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{a^{n+1} \cdot n!}{a^n \cdot (n+1)!} = \lim_{n \to \infty} \frac{a}{n} = 0.\]

Так как предел частного двух членов ряда меньше единицы, то рассматриваемый ряд является сходящимся.

Заключение

Сегодня мы рассмотрели определение числового ряда, сходимости ряда и несколько признаков сходимости. Были упущены абсолютно сходящиеся и знакопеременные ряды, а также признаки сходимости для них. Думаю, это не останется без внимания в дальнейших статьях нашего ресурса.

Предыдущая статья из цикла «Математический анализ»«Выпуклость функции — определение и теоремы.».

Подписывайтесь на группу ВКонтакте, Telegram и YouTube-канал. Там еще больше полезного и интересного для программистов.