Числовые ряды - определение, свойства.

Добрый день, уважаемые читатели. Мы продолжаем цикл статей про математический анализ. Сегодня мы рассмотрим числовые ряды — что это такое, каковы их свойства, а также заглянем в признаки сходимости ряда.

Подпишись на группу Вконтакте и Телеграм-канал. Там еще больше полезного контента для программистов.
А на YouTube-канале ты найдешь обучающие видео по программированию. Подписывайся!

Определение числового ряда и понятия сходимости

Пусть задана числовая последовательность ${a_n}$ . Выражение $a_1 + a_2 + \ldots + a_n + \ldots$ называется числовым рядом и обозначается как $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ , где $a_n$ — члены ряда.

Сумма первых $n$ членов ряда $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ называется n-ой частичной суммой этого ряда (обозн. $S_n$ ), т. е.

$S_n = \sum_{k=1}^n a_k.$

Def. Ряд

$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$

является сходящимся, если последовательность его конечных сумм ( ${S_n}$ ) имеет конечный предел $S$ , т. е.

$\lim_{n \to \infty} S_n = S \in \mathbb{R}.$

Число S, определенное выше, называется суммой ряда и обозначается как

$\sum_{n=1}^{\infty} a_n = S.$

Если же последовательность ${S_n}$ не имеет конечного предела, то ряд является расходящимся.

Условия сходимости ряда

Примечание. В дальнейшем выражение

$a = \sum_{n=1}^{\infty} a_n,$

означает лишь присваивание ряду имени $a$ , а не то, что $a$ является суммой ряда, если не оговорено обратное. Это сделано ради упрощения процесса поглощения материала.

Th. Необходимое условие сходимости ряда. Если ряд сходится, то

$\lim_{n \to \infty} a_n = 0.$

$\circ$

В виду того, что ряд сходится, существует его сумма $S$ , которая является конечным пределом последовательности частичных сумм ряда. Тогда

$\lim_{n \to \infty} S_n = S$

$\lim_{n \to \infty} S_{n-1} = S$

Из этого следует, что

$\lim_{n \to \infty} S_n - S_{n-1} = \lim_{n \to \infty} a_n = S - S = 0.$

$\bullet$

Стоит заметить, что это условие не является достаточным. Самым банальным примером является гармонический ряд :

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n}$

который является расходящимся.

Свойства рядов

Свойство №1.Пусть заданы ряды

$a = \sum_{n=1}^{\infty} a_n$

$b = \sum_{n=1}^{\infty} b_n.$

Если эти ряды сходятся, а их суммы соответственно равны $S_1$ и $S_2$ , то $\forall \lambda, \mu \in \mathbb{R}$ является сходящимся ряд

$c = \sum_{n=1}^{\infty} (\lambda \cdot a_n + \mu \cdot b_n),$

а его сумма $\tau$ равна

$\tau = \lambda \cdot S_1 + \mu \cdot S_2.$

$\circ$

Пусть $S_{1n}, S_{2n}, \tau$ — n-ые частичные суммы рядов $a, b$ и $c$ . Тогда $\tau_n = \lambda \cdot S_{1n} + \mu \cdot S_{2n}$ . Так как $S_{1n} \to S_1$ и $S_{2n} \to S_2$ при $n \to \infty$ , то $c$ имеет конечный предел $\tau$ , а значит является сходящимся.

$\bullet$

Свойство №2. Если сходится ряд

$a = \sum_{n=1}^{\infty} a_n,$

то $\forall m \in \mathbb{N}$ сходится ряд

$b = \sum_{n=m+1}^{\infty} a_n,$

который называют m-ым остатком ряда $a$ . Верно и обратное утверждение: если при фиксированном $m$ ряд $b$ сходится, то и ряд $a$ также сходится.

$\circ$

Пусть $S_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_n$ , а $\phi_{k}^{(m)} = a_{m+1} + a_{m+2} + \ldots + a_{m + k}$ — n-ая частичная сумма ряда $a$ и k-ая частичная сумма $b$ соответственно. Тогда

$S_n = S_m + \phi_{k}^{(m)}, n = m + k.$

Если ряд $a$ сходится, то ${S_n}$ имеет конечный предел при $n \to \infty$ , и поэтому из равенства выше следует, что последовательность $\phi_{k}^{(m)}$ , где $m$ фиксировано, имеет конечный предел при $k \to \infty$ , т. е. ряд $b$ сходится.

Верно и обратное утверждение: если $m$ фиксировано и существует конечный

$\lim_{k \to \infty} \phi_k^{(m)},$

то существует конечный

$\lim_{k \to \infty} S_n.$

$\bullet$

Признаки сходимости

Теперь рассмотрим несколько признаков сходимости. Они будут приведены без доказательств (за исключением одного), но с практическим примером их использования.

Критерий сходимости ряда с неотрицательными членами. Если члены ряда

$a = \sum_{n=1}^{\infty} a_n$

неотрицательны, т. е. $\forall n \in \mathbb{N}:a_n \ge 0,$ то для сходимости этого ряда необходимо и достаточно (!) , чтобы последовательность его частичных сумм ${S_n}$ была ограничена сверху, т. е.

$\exists M > 0: \forall n \in \mathbb{N} : S_n = \sum_{k=1}^{\infty} a_k \le M$

$\circ$

Стоит сразу отметить, что ${S_n}$ — последовательность нестрого возрастающая, так как $S_{n+} - S_n = a_n \ge 0$ . Если ряд с неотрицательными членами сходится, то согласно теореме о пределе возрастающей последовательности

$\forall n \in \mathbb{N}:S_n \le S,$

т. е. выполняется условие, что последовательность частичных сумм ограничена.

Обработно (док-во достаточности), если ряд $a$ с неотрицательными членами имеет ограниченую последовательность частичных сумм, то такая последовательность имеет конечный предел.

$\bullet$

Признак сравнения. Если $\forall n \in \mathbb{N}$ выполняется условие

$0 \le a_n \le b_n,$

то из сходимости ряда

$b = \sum_{n=1}^{\infty} b_n$

следует сходимость ряда

$a = \sum_{n=1}^{\infty} a_n,$

а из расходимости ряда $a$ следует расходимость ряда $b$ .

Пример. Используя признак сравнения, доказать сходимость ряда

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n + sin^5n + 2}{n^2}$

Стоит заметить, что $0 \le (-1)^n + sin^5n \le 4$ . Из этого следует, что

$0 \le a_n \le \frac{4}{n^2}$

Тогда из сходимости ряда

$\sum_{n=1}{\infty} \frac{4}{n^2}$

следует сходимость ряда

$\sum_{n=1}{\infty} \frac{(-1)^n + sin^5n + 2}{n^2}$

Признак Даламбера

Последний на сегодня признак (а их на самом деле очень много) — признак Даламбера.

У этого признака есть много интерпретаций, однако наиболее понятная, по мнению автора, является следующая.

Если существует предел

$q = \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n},$

то рассматриваемый ряд является сходящимся, если $q < 1$ , расходящимся при $q > 1$ . Если $q = 1$ , то о сходимости ряда ничего точно сказать нельзя.

Пример. Используя признак Даламбера, доказать сходимость ряда

$\sum_{n=1}{\infty} \frac{a^n}{n!}, a > 0.$

$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{a^{n+1} \cdot n!}{a^n \cdot (n+1)!} = \lim_{n \to \infty} \frac{a}{n} = 0.$

Так как предел частного двух членов ряда меньше единицы, то рассматриваемый ряд является сходящимся.

Заключение

Сегодня мы рассмотрели определение числового ряда, сходимости ряда и несколько признаков сходимости. Были упущены абсолютно сходящиеся и знакопеременные ряды, а также признаки сходимости для них. Думаю, это не останется без внимания в дальнейших статьях нашего ресурса.

Предыдущая статья из цикла «Математический анализ» — «Выпуклость функции — определение и теоремы.».

Подписывайтесь на группу ВКонтакте, Telegram и YouTube-канал. Там еще больше полезного и интересного для программистов.

Числовые ряды — определение, свойства.