Добрый день, уважаемые читатели. Производная преследует нас повсюду, однако немногие вдаются в подробности этого математического понятия. Здесь будут предоставлены основы дифференцирования, которые в основном проходятся на первом курсе технических факультетов.

Для школьников эта статья может показаться немного сложной в виду большого кол-ва математических выражений, однако я вас уверяю: здесь ничего сложного нет, и каждый желающий сможет разобраться в материале.

Подпишись на группу Вконтакте и Телеграм-канал. Там еще больше полезного контента для программистов.
А на YouTube-канале ты найдешь обучающие видео по программированию. Подписывайся!

Def. Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки x_0.
Обозначим изменение аргумента как \Delta x = x - x_0, а изменение функции при изменении аргумента \Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0).
Тогда если существует конечный предел:

    \[\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = f^{'}(x_0) \in \mathbb{R}\]


то этот предел называется производной функции f(x) в точке x_0.

А операция вычисления производной называется дифференцированием.


Пример 1.
Вычислить производные y = sin(x), y = a^x.
1) y = sin(x)

    \[\Delta y = sin(\Delta x + x) - sin(x) = 2 \cdot cos(x + \frac{\Delta x}{2})\cdot sin(\frac{\Delta x}{2})\]


    \[\frac{\Delta y}{\Delta x} = cos(x + \frac{\Delta x}{2}) \cdot \frac{sin \frac{\Delta x}{2}}{\frac{\Delta x}{2}}\]


    \[Rem. \lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1\]


    \[\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} cos(x + \frac{\Delta x}{2}) = cos x\]


    \[(sin \text{ x})^{'} = cos x\]


2) y = a^x

    \[\Delta y = a^{x + \Delta x} - a^x = a^x(a^{\Delta x} - 1)\]


    \[\frac{\Delta y}{\Delta x} = a^x \cdot \frac{a^{\Delta x} - 1}{\Delta x}\]


    \[Rem. \lim_{t \to 0} \frac{a^t - 1}{t} = ln a\]


    \[\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} a^x \cdot \frac{a^{\Delta x} - 1}{\Delta x} = a^x \cdot ln a\]


    \[(a^x)^{'} = a^x \cdot ln a\]


Def. Функция f(x), определённая в некой окресности точки x_0 называется непрерывной в точке x_0, если:

    \[\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)\]


Th 1. Если функция f(x) имеет производную в точке x_0, то она непрерывна в этой же точке.

    \[\circ\]


    \[f^{'}(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} \Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x} - f^{'}(x_0) = \epsilon(\Delta x) \text{, где } \epsilon(\Delta x) \rightarrow 0 \text{ при } \Delta x \rightarrow 0\]


    \[\Delta y = f^{'}(x_0) \cdot \Delta x + \Delta x \cdot \epsilon(\Delta x)\]


    \[\lim_{\Delta x \to 0} \Delta y = \lim_{\Delta x \to 0} f^{'}(x_0) \cdot \Delta x + \Delta x \cdot \epsilon(\Delta x) = 0 \Rightarrow\]

функция непрерывна в точке x_0

    \[\bullet\]

Арифметические свойства производной


Th 2. Если функции f и g дифференцируемы в точке x, то в этой точке дифференцируема функция \sigma (x) = f(x) + g(x), при этом

    \[\sigma^{'}(x) = f^{'}(x) + g^{'}(x)\]


    \[\circ\]


    \[\text{Пусть } \Delta f = f(x + \Delta x) - f(x); \Delta g = g(x + \Delta x) - g(x)\]


    \[\text{При } \Delta x \to 0 \text{ : } \frac{\Delta f}{\Delta x} \to f^{'}(x); \frac{\Delta g}{\Delta x} \to g^{'}(x)\]


    \[\text{Также } f(x + \Delta x) = f(x) + \Delta f; \text{ } g(x + \Delta x) = g(x) + \Delta g\]


    \[\Delta \sigma = f(x + \Delta x) + g(x + \Delta x) - f(x) - g(x) = \Delta f + \Delta g \Rightarrow\]


    \[\Rightarrow \frac{\Delta \sigma}{\Delta x} = \frac{\Delta f}{\Delta x} + \frac{\Delta g}{\Delta x}\]


    \[\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} + \frac{\Delta g}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} + \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta g}{\Delta x} = f^{'}(x) + g^{'}(x) \Rightarrow\]


    \[\Rightarrow \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta \sigma}{\Delta x} = \sigma^{'}(x) = f^{'}(x) + g^{'}(x)\]


    \[\bullet\]


Th 3. Если функции f и g дифференцируемы в точке x, то в этой точке дифференцируема функция \sigma (x) = f(x) \cdot g(x), при этом

    \[\sigma^{'}(x) = f^{'}(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g^{'}(x)\]


    \[\circ\]


    \[\text{Пусть } \Delta f = f(x + \Delta x) - f(x); \Delta g = g(x + \Delta x) - g(x)\]


    \[\text{При } \Delta x \to 0 \text{ : } \frac{\Delta f}{\Delta x} \to f^{'}(x); \frac{\Delta g}{\Delta x} \to g^{'}(x)\]


    \[\text{Также } f(x + \Delta x) = f(x) + \Delta f; \text{ } g(x + \Delta x) = g(x) + \Delta g\]


    \[\Delta \sigma = f(x + \Delta x) \cdot g(x + \Delta x) - f(x) \cdot g(x) = \Delta f + \Delta g = (f(x) + \Delta f)\cdot(g(x) + \Delta g) - f(x)\cdot g(x) =\]


    \[= f(x) \cdot \Delta g + g(x) \cdot \Delta f + \Delta f \cdot \Delta g\]


    \[\frac{\Delta \sigma}{\Delta x} = f(x) \frac{\Delta g}{\Delta x} + g(x) \frac{\Delta f}{\Delta x} + \frac{\Delta f \cdot \Delta g}{\Delta x}\]


    \[\text{При } \Delta x \to 0 : \frac{\Delta f}{\Delta x} = f^{'}(x); \text{ } \frac{\Delta g}{\Delta x} = g^{'}(x)\]


    \[\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta \sigma}{\Delta x} = \sigma^{'}(x) = \lim_{\Delta x \to 0} (f(x) \frac{\Delta g}{\Delta x} + g(x) \frac{\Delta f}{\Delta x} + \frac{\Delta f \cdot \Delta g}{\Delta x}) = f(x) \cdot g^{'}(x) + f^{'}(x) \cdot g(x)\]


    \[\bullet\]


Th 4. Если функции f и g дифференцируемы в точке x, то в этой точке дифференцируема функция \sigma (x) = \frac{f(x)}{g(x)}, при этом

    \[\sigma^{'}(x) = \frac{f^{'}(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g^{'}(x)}{{g(x)}^2}\]


    \[\circ\]


    \[\text{Пусть } \Delta f = f(x + \Delta x) - f(x); \Delta g = g(x + \Delta x) - g(x)\]


    \[\text{При } \Delta x \to 0 \text{ : } \frac{\Delta f}{\Delta x} \to f^{'}(x); \frac{\Delta g}{\Delta x} \to g^{'}(x)\]


    \[\text{Также } f(x + \Delta x) = f(x) + \Delta f; \text{ } g(x + \Delta x) = g(x) + \Delta g\]


    \[\Delta \sigma = \frac{f(x + \Delta x)}{g(x + \Delta x)} - \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f(x) + \Delta f}{g(x) + \Delta g} - \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\Delta f \cdot g(x) - \Delta g \cdot f(x)}{g(x) \cdot g(x + \Delta x)}\]


    \[\lim_{\Delta x \to 0} g(x + \Delta x) = g(x)\]


    \[\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta \sigma}{\Delta x} = \sigma^{'}(x) = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta f \cdot g(x) - \Delta g \cdot f(x)}{g(x) \cdot g(x + \Delta x)} = \frac{f^{'}(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g^{'}(x)}{{g(x)^2}}\]


    \[\bullet\]


Пример 2. Вычислите:

    \[tg^{'} x, x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}\]


    \[ctg^{'}x, x \ne \pi k, k \in \mathbb{Z}\]


    \[(tg \text{ }x)^{'} = {(\frac{\sin x}{\cos x})}^{'} = \frac{(\sin x)^{'} \cdot \cos x - (\cos x)^{'} \cdot \sin x}{\cos^{2} x} = \frac{\cos^{2}x + \sin^{2}x}{\cos^{2}x} = \frac{1}{\cos^{2}x}\]


    \[(ctg \text{ }x)^{'} = \frac{(\cos x)^{'} \cdot \sin x - (\sin x)^{'} \cdot \cos x}{\cos^{2}x} = - \frac{\sin^{2} x + \cos^{2} x}{\cos^{2}x} = -\frac{1}{\sin^{2}x}\]

Локальный экстремум


Def. Функция f(x) имеет в точке x_0 локальный минимум, если:

    \[\exists \sigma > 0: \forall x \in U_{\sigma}(x): f(x) \ge f(x_0)\]


Def. Функция f(x) имеет в точке x_0 локальный максимум, если:

    \[\exists \sigma > 0: \forall x \in U_{\sigma}(x): f(x) \le f(x_0)\]

Локальные минимум и максимум объединяются под общим термином — локальный экстремум.


Th Ферма. Если функция f(x) определена на U_{\sigma}(x_0), имеет локальный экстремум в точке x_0 и дифференцируема в этой точке, то

    \[f' (x_0) = 0\]


    \[\circ\]


Докажем теорему для локального максимума
Если f(x) имеет локальный минимум в точке x_0 то:


    \[\forall x \in (x_0 - \sigma, x_0 + \sigma) : f(x) \ge f(x_0) \Rightarrow f(x) - f(x_0) \ge 0\]

    \[x \in (x_0 - \sigma, x_0) : \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \le 0; (1)\]


    \[x \in (x_0, x_0 + \sigma) : \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \ge 0; (2)\]


    \[(1) \Rightarrow \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = f^{'}(x_0) \le 0; (3)\]


    \[(2) \Rightarrow \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = f^{'}(x_0) \ge 0; (4)\]


    \[(3) \wedge (4) \Rightarrow f' (x_0) = 0\]


    \[\bullet\]


Th Ролля. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], принимает в концах этого отрезка равные значения, т.е.

    \[f(a) = f(b)\]


и дифференцируема на интервале (a, b), то:

    \[\exists \psi \in (a, b) : f^{'}(\psi) = 0\]


    \[\circ\]


Пусть M = sup \text{ } f(x), m = inf \text{ } f(x), a \le x \le b;

По теореме Вейерштрасса: \exists c_1, c_2 \in [a, b] : f(c_1) = m; f(c_2) = M.

Если m = M , то \psi — любое значение из интервалa (a, b).

Если m \ne M, то m < M \Rightarrow f(c_1) < f(c_2).

Из условия f(a) = f(b) \Rightarrow c_1 \in (a, b) \vee c_2 \in (a, b).

Пусть c_1 \in (a, b) \Rightarrow \exists \sigma > 0: U_{\sigma}(c1) \subset (a, b).

\forall x \in U_{\sigma}(c_1): f(x) \ge f(c1) = m \Rightarrow (по теорефе Ферма) \Rightarrow f^{'}(c_1) = 0 \Rightarrow \psi = c_1

    \[\bullet\]

Th Лангранжа. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (a, b), то:

    \[\exists \psi \in (a, b): f(b) - f(a) = f^{'}(\psi)\cdot(b - a)\]


    \[\circ\]


Рассмотрим функцию \sigma(x) = f(x) + \lambda x , где \lambda выберем таким, чтоб выполнялось условие:

    \[\sigma(a) = \sigma(b).\]


    \[\sigma(a) = \sigma(b) \Rightarrow f(a) + \lambda a = f(b) + \lambda b \Rightarrow \lambda = -\frac{f(b) - f(a)}{b - a}\]


Функция \sigma(x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема на интервале (a, b) и \sigma(a) = \sigma(b) \Rightarrow(по теореме Ролля)

    \[\Rightarrow \exists \psi \in (a, b): \sigma^{'}(\psi) = f^{'}(\psi) + \lambda = 0 \Rightarrow\]


    \[\Rightarrow f^{'}(\psi) = -\lambda = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \Rightarrow f(b) - f(a) = f^{'}(\psi) \cdot (b - a)\]


    \[\bullet\]

Th Коши. Если функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a, b], дифференцируемы на интервале (a, b) и \forall x \in (a, b): g^{'}(x) \ne 0, то \exists \psi \in (a, b) :

    \[\frac{f(a) - f(b)}{g(а) - g(b)} = \frac{f^{'}(\psi)}{g^{'}(\psi)}\]


    \[\circ\]


Рассмотрим функцию: \sigma(x) = f(x) + \lambda \cdot g(x) , где \lambda выберем таким, что: \sigma(a) = \sigma(b).
g(a) \ne g(b) \Rightarrow(по теореме Ролля)\Rightarrow \exists c \in (a, b) : g^{'}(c) = 0, что противоречит условию теоремы

    \[\sigma(a) = \sigma(b) \Rightarrow \lambda = - \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}\]


Т.к. функция \sigma непрерывна на отрезке [a, b] , диф. на интервале (a, b) и \sigma(a) = \sigma(b) \Rightarrow (по теореме Ролля) \Rightarrow

    \[\Rightarrow \exists \psi \in (a, b) : \sigma^{'}(\psi) = f^{'}(\psi) + \lambda \cdot g^{'}(\psi) = 0 \Rightarrow\]


    \[\Rightarrow \frac{f^{'}(\psi)}{g^{'}(\psi)} = - \lambda \Rightarrow \frac{f^{'}(\psi)}{g^{'}(\psi)} = \frac{f(a) - f(b)}{g(b) - g(b)}\]


    \[\bullet\]

Заключение

В этой статье было очень мало слов и очень много математики. Чтобы не потерять материал из статьи, можете сохранить документ со всем, что вы только что прочитали.

Советую прочитать статью «Бросок тела с высоты, моделируем на Python«.

А также подписывайтесь на группу ВКонтакте, Telegram и YouTube-канал. Там еще больше полезного и интересного для программистов.