Производная. Определение и базовые теоремы

Добрый день, уважаемые читатели. Производная преследует нас повсюду, однако немногие вдаются в подробности этого математического понятия. Здесь будут предоставлены основы дифференцирования, которые в основном проходятся на первом курсе технических факультетов.

Для школьников эта статья может показаться немного сложной в виду большого кол-ва математических выражений, однако я вас уверяю: здесь ничего сложного нет, и каждый желающий сможет разобраться в материале.

Подпишись на группу Вконтакте и Телеграм-канал. Там еще больше полезного контента для программистов.
А на YouTube-канале ты найдешь обучающие видео по программированию. Подписывайся!

Def. Пусть функция $y = f(x)$ определена в некоторой окрестности точки $x_0$ .
Обозначим изменение аргумента как $\Delta x = x - x_0$ , а изменение функции при изменении аргумента $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$ .
Тогда если существует конечный предел:

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = f^{'}(x_0) \in \mathbb{R}$

то этот предел называется производной функции $f(x)$ в точке $x_0$ .

А операция вычисления производной называется дифференцированием.

Пример 1.
Вычислить производные $y = sin(x)$ , $y = a^x$ .
1) $y = sin(x)$

$\Delta y = sin(\Delta x + x) - sin(x) = 2 \cdot cos(x + \frac{\Delta x}{2})\cdot sin(\frac{\Delta x}{2})$

$\frac{\Delta y}{\Delta x} = cos(x + \frac{\Delta x}{2}) \cdot \frac{sin \frac{\Delta x}{2}}{\frac{\Delta x}{2}}$

$Rem. \lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1$

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} cos(x + \frac{\Delta x}{2}) = cos x$

$(sin \text{ x})^{'} = cos x$

$y = a^x$

$\Delta y = a^{x + \Delta x} - a^x = a^x(a^{\Delta x} - 1)$

$\frac{\Delta y}{\Delta x} = a^x \cdot \frac{a^{\Delta x} - 1}{\Delta x}$

$Rem. \lim_{t \to 0} \frac{a^t - 1}{t} = ln a$

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} a^x \cdot \frac{a^{\Delta x} - 1}{\Delta x} = a^x \cdot ln a$

$(a^x)^{'} = a^x \cdot ln a$

Def. Функция $f(x)$ , определённая в некой окресности точки $x_0$ называется непрерывной в точке $x_0$ , если:

$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$

Th 1. Если функция $f(x)$ имеет производную в точке $x_0$ , то она непрерывна в этой же точке.

$\circ$

$f^{'}(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} \Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x} - f^{'}(x_0) = \epsilon(\Delta x) \text{, где } \epsilon(\Delta x) \rightarrow 0 \text{ при } \Delta x \rightarrow 0$

$\Delta y = f^{'}(x_0) \cdot \Delta x + \Delta x \cdot \epsilon(\Delta x)$

$\lim_{\Delta x \to 0} \Delta y = \lim_{\Delta x \to 0} f^{'}(x_0) \cdot \Delta x + \Delta x \cdot \epsilon(\Delta x) = 0 \Rightarrow$

функция непрерывна в точке

$x_0$

$\bullet$

Арифметические свойства производной

Th 2. Если функции $f$ и $g$ дифференцируемы в точке x, то в этой точке дифференцируема функция $\sigma (x) = f(x) + g(x)$ , при этом

$\sigma^{'}(x) = f^{'}(x) + g^{'}(x)$

$\circ$

$\text{Пусть } \Delta f = f(x + \Delta x) - f(x); \Delta g = g(x + \Delta x) - g(x)$

$\text{При } \Delta x \to 0 \text{ : } \frac{\Delta f}{\Delta x} \to f^{'}(x); \frac{\Delta g}{\Delta x} \to g^{'}(x)$

$\text{Также } f(x + \Delta x) = f(x) + \Delta f; \text{ } g(x + \Delta x) = g(x) + \Delta g$

$\Delta \sigma = f(x + \Delta x) + g(x + \Delta x) - f(x) - g(x) = \Delta f + \Delta g \Rightarrow$

$\Rightarrow \frac{\Delta \sigma}{\Delta x} = \frac{\Delta f}{\Delta x} + \frac{\Delta g}{\Delta x}$

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} + \frac{\Delta g}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} + \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta g}{\Delta x} = f^{'}(x) + g^{'}(x) \Rightarrow$

$\Rightarrow \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta \sigma}{\Delta x} = \sigma^{'}(x) = f^{'}(x) + g^{'}(x)$

$\bullet$

Th 3. Если функции $f$ и $g$ дифференцируемы в точке x, то в этой точке дифференцируема функция $\sigma (x) = f(x) \cdot g(x)$ , при этом

$\sigma^{'}(x) = f^{'}(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g^{'}(x)$

$\circ$

$\text{Пусть } \Delta f = f(x + \Delta x) - f(x); \Delta g = g(x + \Delta x) - g(x)$

$\text{При } \Delta x \to 0 \text{ : } \frac{\Delta f}{\Delta x} \to f^{'}(x); \frac{\Delta g}{\Delta x} \to g^{'}(x)$

$\text{Также } f(x + \Delta x) = f(x) + \Delta f; \text{ } g(x + \Delta x) = g(x) + \Delta g$

$\Delta \sigma = f(x + \Delta x) \cdot g(x + \Delta x) - f(x) \cdot g(x) = \Delta f + \Delta g = (f(x) + \Delta f)\cdot(g(x) + \Delta g) - f(x)\cdot g(x) =$

$= f(x) \cdot \Delta g + g(x) \cdot \Delta f + \Delta f \cdot \Delta g$

$\frac{\Delta \sigma}{\Delta x} = f(x) \frac{\Delta g}{\Delta x} + g(x) \frac{\Delta f}{\Delta x} + \frac{\Delta f \cdot \Delta g}{\Delta x}$

$\text{При } \Delta x \to 0 : \frac{\Delta f}{\Delta x} = f^{'}(x); \text{ } \frac{\Delta g}{\Delta x} = g^{'}(x)$

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta \sigma}{\Delta x} = \sigma^{'}(x) = \lim_{\Delta x \to 0} (f(x) \frac{\Delta g}{\Delta x} + g(x) \frac{\Delta f}{\Delta x} + \frac{\Delta f \cdot \Delta g}{\Delta x}) = f(x) \cdot g^{'}(x) + f^{'}(x) \cdot g(x)$

$\bullet$

Th 4. Если функции $f$ и $g$ дифференцируемы в точке x, то в этой точке дифференцируема функция $\sigma (x) = \frac{f(x)}{g(x)}$ , при этом

$\sigma^{'}(x) = \frac{f^{'}(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g^{'}(x)}{{g(x)}^2}$

$\circ$

$\text{Пусть } \Delta f = f(x + \Delta x) - f(x); \Delta g = g(x + \Delta x) - g(x)$

$\text{При } \Delta x \to 0 \text{ : } \frac{\Delta f}{\Delta x} \to f^{'}(x); \frac{\Delta g}{\Delta x} \to g^{'}(x)$

$\text{Также } f(x + \Delta x) = f(x) + \Delta f; \text{ } g(x + \Delta x) = g(x) + \Delta g$

$\Delta \sigma = \frac{f(x + \Delta x)}{g(x + \Delta x)} - \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f(x) + \Delta f}{g(x) + \Delta g} - \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\Delta f \cdot g(x) - \Delta g \cdot f(x)}{g(x) \cdot g(x + \Delta x)}$

$\lim_{\Delta x \to 0} g(x + \Delta x) = g(x)$

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta \sigma}{\Delta x} = \sigma^{'}(x) = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta f \cdot g(x) - \Delta g \cdot f(x)}{g(x) \cdot g(x + \Delta x)} = \frac{f^{'}(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g^{'}(x)}{{g(x)^2}}$

$\bullet$

Пример 2. Вычислите:

$tg^{'} x, x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

$ctg^{'}x, x \ne \pi k, k \in \mathbb{Z}$

$(tg \text{ }x)^{'} = {(\frac{\sin x}{\cos x})}^{'} = \frac{(\sin x)^{'} \cdot \cos x - (\cos x)^{'} \cdot \sin x}{\cos^{2} x} = \frac{\cos^{2}x + \sin^{2}x}{\cos^{2}x} = \frac{1}{\cos^{2}x}$

$(ctg \text{ }x)^{'} = \frac{(\cos x)^{'} \cdot \sin x - (\sin x)^{'} \cdot \cos x}{\cos^{2}x} = - \frac{\sin^{2} x + \cos^{2} x}{\cos^{2}x} = -\frac{1}{\sin^{2}x}$

Локальный экстремум

Def. Функция $f(x)$ имеет в точке $x_0$ локальный минимум, если:

$\exists \sigma > 0: \forall x \in U_{\sigma}(x): f(x) \ge f(x_0)$

Def. Функция $f(x)$ имеет в точке $x_0$ локальный максимум, если:

$\exists \sigma > 0: \forall x \in U_{\sigma}(x): f(x) \le f(x_0)$

Локальные минимум и максимум объединяются под общим термином — локальный экстремум.

Th Ферма. Если функция $f(x)$ определена на $U_{\sigma}(x_0)$ , имеет локальный экстремум в точке $x_0$ и дифференцируема в этой точке, то

$f' (x_0) = 0$

$\circ$

Докажем теорему для локального максимума
Если $f(x)$ имеет локальный минимум в точке $x_0$ то:

$\forall x \in (x_0 - \sigma, x_0 + \sigma) : f(x) \ge f(x_0) \Rightarrow f(x) - f(x_0) \ge 0$

$x \in (x_0 - \sigma, x_0) : \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \le 0; (1)$

$x \in (x_0, x_0 + \sigma) : \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \ge 0; (2)$

$(1) \Rightarrow \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = f^{'}(x_0) \le 0; (3)$

$(2) \Rightarrow \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = f^{'}(x_0) \ge 0; (4)$

$(3) \wedge (4) \Rightarrow f' (x_0) = 0$

$\bullet$

Th Ролля. Если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a, b]$ , принимает в концах этого отрезка равные значения, т.е.

$f(a) = f(b)$

и дифференцируема на интервале

$(a, b)$ , то:

$\exists \psi \in (a, b) : f^{'}(\psi) = 0$

$\circ$

Пусть

$M = sup \text{ } f(x), m = inf \text{ } f(x), a \le x \le b;$

По теореме Вейерштрасса:

$\exists c_1, c_2 \in [a, b] : f(c_1) = m; f(c_2) = M.$

Если

$m = M$ , то

$\psi$ — любое значение из интервалa

$(a, b).$

Если

$m \ne M$ , то

$m < M \Rightarrow f(c_1) < f(c_2).$

Из условия

$f(a) = f(b) \Rightarrow c_1 \in (a, b) \vee c_2 \in (a, b).$

Пусть

$c_1 \in (a, b) \Rightarrow \exists \sigma > 0: U_{\sigma}(c1) \subset (a, b).$

$\forall x \in U_{\sigma}(c_1): f(x) \ge f(c1) = m \Rightarrow$ (по теорефе Ферма)

$\Rightarrow f^{'}(c_1) = 0 \Rightarrow \psi = c_1$

$\bullet$

Th Лангранжа. Если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a, b]$ и дифференцируема на интервале $(a, b)$ , то:

$\exists \psi \in (a, b): f(b) - f(a) = f^{'}(\psi)\cdot(b - a)$

$\circ$

Рассмотрим функцию $\sigma(x) = f(x) + \lambda x$ , где $\lambda$ выберем таким, чтоб выполнялось условие:

$\sigma(a) = \sigma(b).$

$\sigma(a) = \sigma(b) \Rightarrow f(a) + \lambda a = f(b) + \lambda b \Rightarrow \lambda = -\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$

Функция

$\sigma(x)$ непрерывна на отрезке

$[a, b]$ , дифференцируема на интервале

$(a, b)$ и

$\sigma(a) = \sigma(b) \Rightarrow$ (по теореме Ролля)

$\Rightarrow \exists \psi \in (a, b): \sigma^{'}(\psi) = f^{'}(\psi) + \lambda = 0 \Rightarrow$

$\Rightarrow f^{'}(\psi) = -\lambda = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \Rightarrow f(b) - f(a) = f^{'}(\psi) \cdot (b - a)$

$\bullet$

Th Коши. Если функции $f(x)$ и $g(x)$ непрерывны на отрезке $[a, b]$ , дифференцируемы на интервале $(a, b)$ и $\forall x \in (a, b): g^{'}(x) \ne 0$ , то $\exists \psi \in (a, b) :$

$\frac{f(a) - f(b)}{g(а) - g(b)} = \frac{f^{'}(\psi)}{g^{'}(\psi)}$

$\circ$

Рассмотрим функцию:

$\sigma(x) = f(x) + \lambda \cdot g(x)$ , где

$\lambda$ выберем таким, что:

$\sigma(a) = \sigma(b).$

$g(a) \ne g(b) \Rightarrow$ (по теореме Ролля)

$\Rightarrow \exists c \in (a, b) : g^{'}(c) = 0$ , что противоречит условию теоремы

$\sigma(a) = \sigma(b) \Rightarrow \lambda = - \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}$

Т.к. функция

$\sigma$ непрерывна на отрезке

$[a, b]$ , диф. на интервале

$(a, b)$ и

$\sigma(a) = \sigma(b) \Rightarrow$ (по теореме Ролля)

$\Rightarrow$

$\Rightarrow \exists \psi \in (a, b) : \sigma^{'}(\psi) = f^{'}(\psi) + \lambda \cdot g^{'}(\psi) = 0 \Rightarrow$

$\Rightarrow \frac{f^{'}(\psi)}{g^{'}(\psi)} = - \lambda \Rightarrow \frac{f^{'}(\psi)}{g^{'}(\psi)} = \frac{f(a) - f(b)}{g(b) - g(b)}$

$\bullet$

Заключение

В этой статье было очень мало слов и очень много математики. Чтобы не потерять материал из статьи, можете сохранить документ со всем, что вы только что прочитали.

Советую прочитать статью «Бросок тела с высоты, моделируем на Python«.

А также подписывайтесь на группу ВКонтакте, Telegram и YouTube-канал. Там еще больше полезного и интересного для программистов.