Выпуклость функции - определение и теоремы

Добрый день, уважаемые читатели. Тема сегодняшней статьи — выпуклость функции на отрезке. Это довольно важный аспект изучения поведения функций, поэтому незамедлительно приступаем.

P.S. Предыдущая статья на тему математического анализа была про определение производной и теоремы, связанных с ней. Советую ознакомиться.

Подпишись на группу Вконтакте и Телеграм-канал. Там еще больше полезного контента для программистов.
А на YouTube-канале ты найдешь обучающие видео по программированию. Подписывайся!

Определение

Def. Непрерывная функция $y = f(x)$ называется выпуклой вверх на отрезке $[a, b]$ , если выполняется условие $(1)$ :

$\forall x_1, x_2 \in [a, b]: f\left(\frac{x_1 + x_2}{2}\right) \ge \frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$

то есть для любых точек $x_1$ и $x_2$ из отрезка $[a, b]$ выполняется неравенство, приведенное выше.

Аналогично непрерывная функция $y = f(x)$ называется выпуклой вниз на отрезке $[a, b]$ , если выполняется условие $(2)$ :

$\forall x_1, x_2 \in [a, b] : f\left(\frac{x_1 + x_2}{2}\right) \le \frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$

Если неравенство $(1)$ является строгим для любых $x_1, x_2 \in [a, b], x_1 \ne x_2$ , то такую непрерывную функцию $y = f(x)$ называют строго выпуклой вверх на отрезке $[a, b]$ .

Также по аналогии, если неравенство $(2)$ является строгим $\forall x_1, x_2 \in [a, b], x_1 \ne x_2$ , то $y = f(x)$ называют строго выпуклой вниз на отрезке $[a, b]$ .

Достаточное условия выпуклости

Th. Пусть $f^{'}(x)$ существует на отрезке $[a, b]$ , а $f^{''}(x)$ на интервале $(a, b)$ . Тогда:
1) если

$\forall x \in (a, b) : f^{''}(x) \ge 0$

то функция $y = f(x)$ выпукла вниз на отрезке $[a, b]$ .

2) если

$\forall x \in (a, b) : f^{''}(x) > 0$

то функция $y = f(x)$ строго выпукла вниз на отрезке $[a, b]$ .

Также, если выполняется условие $f^{''}(x) \le 0$ ( $f^{''}(x) < 0$ ), то функция $y = f(x)$ выпукла вверх (строго выпукла вверх).

$\square$ Докажем только первое утверждение. Необходимо доказать, что для любых $x_1$ и $x_2$ отрезка $[a, b]$ выполняется условие:

$\forall x_1, x_2 \in [a, b] : f\left(\frac{x_1 + x_2}{2}\right) \le \frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$

Не уменьшая общности, допустим, что $x_1 < x_2$ (очевидно, что при $x_1 = x_2$ условие выполняется).

Обозначим $x_0 = \frac{x_1 + x_2}{2}$ , $x_2 - x_1 = 2h$ , тогда $x_2 - x_0 = x_0 - x_1 = h \Rightarrow x_1 = x_0 - h$ , $x_2 = x_0 + h$ .

Применяя формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа при $n = 2$ , получаем:

$f(x_1) = f(x_0 - h) = f(x_0) - f^{'}(x_0) \cdot h + \frac{f^{''}(\psi_1)}{2!} \cdot h^2, x_0 - h < \psi_1 < x_0$

$f(x_1) = f(x_0 - h) = f(x_0) + f^{'}(x_0) \cdot h + \frac{f^{''}(\psi_2)}{2!} \cdot h^2, x_0 < \psi_2 < x_0 + h$

Сложив два равенства, получим:

$f(x_1) + f(x_2) = 2f(x_0) + \frac{h^2}{2}(f^{''}(\psi_1) + f^{''}(\psi_2))$

Так как $\psi_1 \in (a, b)$ , $\psi_2 \in (a, b)$ , то

$\forall x \in (a, b) : f^{''}(x) \ge 0 \Rightarrow f^{''}(\psi_1) \ge 0, f^{''}(\psi_2) \ge 0 \Rightarrow$

$\Rightarrow f(x_1) + f(x_2) \ge 2f(x_0)$

равносильно неравенству, которое необходимо было доказать. $\blacksquare$

Пример. Докажем, что функция $y = f(x) = x^4$ выпукла вниз на всей области определения. Найдем вторую производную:

$f^{''}(x) = (x^4)^{''} = (4x^3)^{'} = 12x^2$

Очевидно, что вторая производная больше или равна нулю на всей области определения $\Rightarrow$ она выпукла вниз.

Точки перегиба

Def. Точка перегиба. Пусть функция $f(x)$ непрерывна в точке $x_0$ и имеет в этой точке производную (вне зависимости от того, конечна она или нет).

Тогда если функция меняет направление своей выпуклости при переходе через точку $x_0$ , т. е. $\exist \sigma > 0$ такое, что на одном из интервалов $(x_0 - \sigma, x_0)$ и $(x_0, x_0 + \sigma)$ функция выпукла вверх, а на другом выпукла вниз, то $x_0$ называют точкой перегиба.

Пример. Для функций $y = x^5$ точкой перегиба является $x = 0$ , а для функции $y = x^3 - x^2 + x$ точкой перегиба является $x = \frac{1}{3}$ .

Th. Если $x_0$ — точка перегиба функции $f(x)$ , и $f(x)$ имеет в некоторой окрестности $x_0$ вторую производную, непрерывную в точке $x_0$ , то

$f^{''}(x_0) = 0.$

$\square$ Пусть $f^{''}(x_0) \ne 0$ . Тогда из-за того, что $f^{''}(x)$ непрерывна в точке $x_0$ , верно утверждение:

$\exists \sigma > 0 \forall x \in U_{\sigma}(x_0) : sign f^{''}(x) = sign f^{''}(x_0),$

т. е.

$\forall x \in U_{\sigma}(x_0):f^{''}(x) > 0$ или

$f^{''}(x) < 0$ .

По теореме, доказанной выше, $f(x)$ либо строго выпукла вниз на интервале $U_{\sigma}(x_0)$ (при условии, что $f^{''} > 0$ ), либо строго выпукла вверх на интервале $U_{\sigma}(x_0)$ . Получаем противоречие определению точки перегиба, из чего мы делаем вывод, что наше предположение было верно.

Заключение

В этой статье мы рассмотрели определения выпуклости функции и точки перегиба, а так же доказали две теоремы. Надеюсь, смесь математической нотации с нормальным языком не сильно резала вам глаз. По моему скромному мнению, такой вид изложения материала имеет место быть.

Недавно мы начали создавать магию, используя язык программирования Python в статье «Магические методы — создаём объект с магическими методами (ч.1)».

Подписывайтесь на группу ВКонтакте, Telegram и YouTube-канал. Там еще больше полезного и интересного для программистов.