Добрый день, уважаемые читатели. Тема сегодняшней статьи — выпуклость функции на отрезке. Это довольно важный аспект изучения поведения функций, поэтому незамедлительно приступаем.
P.S. Предыдущая статья на тему математического анализа была про определение производной и теоремы, связанных с ней. Советую ознакомиться.
Подпишись на группу Вконтакте и Телеграм-канал. Там еще больше полезного контента для программистов.
А на YouTube-канале ты найдешь обучающие видео по программированию. Подписывайся!
Определение
Def. Непрерывная функция называется выпуклой вверх на отрезке
, если выполняется условие
:
то есть для любых точек и
из отрезка
выполняется неравенство, приведенное выше.
Аналогично непрерывная функция называется выпуклой вниз на отрезке
, если выполняется условие
:
Если неравенство является строгим для любых
, то такую непрерывную функцию
называют строго выпуклой вверх на отрезке
.
Также по аналогии, если неравенство является строгим
, то
называют строго выпуклой вниз на отрезке
.
Достаточное условия выпуклости
Th. Пусть существует на отрезке
, а
на интервале
. Тогда:
1) если
то функция выпукла вниз на отрезке
.
2) если
то функция строго выпукла вниз на отрезке
.
Также, если выполняется условие (
), то функция
выпукла вверх (строго выпукла вверх).
Докажем только первое утверждение. Необходимо доказать, что для любых
и
отрезка
выполняется условие:
Не уменьшая общности, допустим, что (очевидно, что при
условие выполняется).
Обозначим ,
, тогда
,
.
Применяя формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа при , получаем:
Сложив два равенства, получим:
Так как ,
, то
равносильно неравенству, которое необходимо было доказать.
Пример. Докажем, что функция выпукла вниз на всей области определения. Найдем вторую производную:
Очевидно, что вторая производная больше или равна нулю на всей области определения она выпукла вниз.
Точки перегиба
Def. Точка перегиба. Пусть функция непрерывна в точке
и имеет в этой точке производную (вне зависимости от того, конечна она или нет).
Тогда если функция меняет направление своей выпуклости при переходе через точку , т. е.
такое, что на одном из интервалов
и
функция выпукла вверх, а на другом выпукла вниз, то
называют точкой перегиба.
Пример. Для функций точкой перегиба является
, а для функции
точкой перегиба является
.
Th. Если — точка перегиба функции
, и
имеет в некоторой окрестности
вторую производную, непрерывную в точке
, то
Пусть
. Тогда из-за того, что
непрерывна в точке
, верно утверждение:
т. е.


По теореме, доказанной выше, либо строго выпукла вниз на интервале
(при условии, что
), либо строго выпукла вверх на интервале
. Получаем противоречие определению точки перегиба, из чего мы делаем вывод, что наше предположение было верно.
Заключение
В этой статье мы рассмотрели определения выпуклости функции и точки перегиба, а так же доказали две теоремы. Надеюсь, смесь математической нотации с нормальным языком не сильно резала вам глаз. По моему скромному мнению, такой вид изложения материала имеет место быть.
Недавно мы начали создавать магию, используя язык программирования Python в статье «Магические методы — создаём объект с магическими методами (ч.1)».
Подписывайтесь на группу ВКонтакте, Telegram и YouTube-канал. Там еще больше полезного и интересного для программистов.