Добрый день, уважаемые читатели. Тема сегодняшней статьи — выпуклость функции на отрезке. Это довольно важный аспект изучения поведения функций, поэтому незамедлительно приступаем.

P.S. Предыдущая статья на тему математического анализа была про определение производной и теоремы, связанных с ней. Советую ознакомиться.

Подпишись на группу Вконтакте и Телеграм-канал. Там еще больше полезного контента для программистов.
А на YouTube-канале ты найдешь обучающие видео по программированию. Подписывайся!

Определение

Def. Непрерывная функция y = f(x) называется выпуклой вверх на отрезке [a, b], если выполняется условие (1):

    \[\forall x_1, x_2 \in [a, b]: f\left(\frac{x_1 + x_2}{2}\right) \ge \frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}\]


то есть для любых точек x_1 и x_2 из отрезка [a, b] выполняется неравенство, приведенное выше.

Аналогично непрерывная функция y = f(x) называется выпуклой вниз на отрезке [a, b], если выполняется условие (2):

    \[\forall x_1, x_2 \in [a, b] : f\left(\frac{x_1 + x_2}{2}\right) \le \frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}\]

Если неравенство (1) является строгим для любых x_1, x_2 \in [a, b], x_1 \ne x_2, то такую непрерывную функцию y = f(x) называют строго выпуклой вверх на отрезке [a, b].

Также по аналогии, если неравенство (2) является строгим \forall x_1, x_2 \in [a, b], x_1 \ne x_2, то y = f(x) называют строго выпуклой вниз на отрезке [a, b].

Достаточное условия выпуклости

Th. Пусть f^{'}(x) существует на отрезке [a, b], а f^{''}(x) на интервале (a, b). Тогда:
1) если

    \[\forall x \in (a, b) : f^{''}(x) \ge 0\]

то функция y = f(x) выпукла вниз на отрезке [a, b].

2) если

    \[\forall x \in (a, b) : f^{''}(x) > 0\]

то функция y = f(x) строго выпукла вниз на отрезке [a, b].

Также, если выполняется условие f^{''}(x) \le 0 (f^{''}(x) < 0), то функция y = f(x) выпукла вверх (строго выпукла вверх).

\square Докажем только первое утверждение. Необходимо доказать, что для любых x_1 и x_2 отрезка [a, b] выполняется условие:

    \[\forall x_1, x_2 \in [a, b] : f\left(\frac{x_1 + x_2}{2}\right) \le \frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}\]

Не уменьшая общности, допустим, что x_1 < x_2 (очевидно, что при x_1 = x_2 условие выполняется).

Обозначим x_0 = \frac{x_1 + x_2}{2}, x_2 - x_1 = 2h, тогда x_2 - x_0 = x_0 - x_1 = h \Rightarrow x_1 = x_0 - h, x_2 = x_0 + h.

Применяя формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа при n = 2, получаем:

    \[f(x_1) = f(x_0 - h) = f(x_0) - f^{'}(x_0) \cdot h + \frac{f^{''}(\psi_1)}{2!} \cdot h^2, x_0 - h < \psi_1 < x_0\]

    \[f(x_1) = f(x_0 - h) = f(x_0) + f^{'}(x_0) \cdot h + \frac{f^{''}(\psi_2)}{2!} \cdot h^2, x_0 < \psi_2 < x_0 + h\]

Сложив два равенства, получим:

    \[f(x_1) + f(x_2) = 2f(x_0) + \frac{h^2}{2}(f^{''}(\psi_1) + f^{''}(\psi_2))\]

Так как \psi_1 \in (a, b), \psi_2 \in (a, b), то

    \[\forall x \in (a, b) : f^{''}(x) \ge 0 \Rightarrow f^{''}(\psi_1) \ge 0, f^{''}(\psi_2) \ge 0 \Rightarrow\]


    \[\Rightarrow f(x_1) + f(x_2) \ge 2f(x_0)\]

равносильно неравенству, которое необходимо было доказать. \blacksquare

Пример. Докажем, что функция y = f(x) = x^4 выпукла вниз на всей области определения. Найдем вторую производную:

    \[f^{''}(x) = (x^4)^{''} = (4x^3)^{'} = 12x^2\]

.


Очевидно, что вторая производная больше или равна нулю на всей области определения \Rightarrow она выпукла вниз.

Точки перегиба

Def. Точка перегиба. Пусть функция f(x) непрерывна в точке x_0 и имеет в этой точке производную (вне зависимости от того, конечна она или нет).

Тогда если функция меняет направление своей выпуклости при переходе через точку x_0, т. е. \exist \sigma > 0 такое, что на одном из интервалов (x_0 - \sigma, x_0) и (x_0, x_0 + \sigma) функция выпукла вверх, а на другом выпукла вниз, то x_0 называют точкой перегиба.

Пример. Для функций y = x^5 точкой перегиба является x = 0, а для функции y = x^3 - x^2 + x точкой перегиба является x = \frac{1}{3}.

Th. Если x_0 — точка перегиба функции f(x), и f(x) имеет в некоторой окрестности x_0 вторую производную, непрерывную в точке x_0, то

    \[f^{''}(x_0) = 0.\]

\square Пусть f^{''}(x_0) \ne 0. Тогда из-за того, что f^{''}(x) непрерывна в точке x_0, верно утверждение:

    \[\exists \sigma > 0 \forall x \in U_{\sigma}(x_0) : sign f^{''}(x) = sign f^{''}(x_0),\]


т. е. \forall x \in U_{\sigma}(x_0):f^{''}(x) > 0 или f^{''}(x) < 0.

По теореме, доказанной выше, f(x) либо строго выпукла вниз на интервале U_{\sigma}(x_0) (при условии, что f^{''} > 0), либо строго выпукла вверх на интервале U_{\sigma}(x_0). Получаем противоречие определению точки перегиба, из чего мы делаем вывод, что наше предположение было верно.

Заключение

В этой статье мы рассмотрели определения выпуклости функции и точки перегиба, а так же доказали две теоремы. Надеюсь, смесь математической нотации с нормальным языком не сильно резала вам глаз. По моему скромному мнению, такой вид изложения материала имеет место быть.

Недавно мы начали создавать магию, используя язык программирования Python в статье «Магические методы — создаём объект с магическими методами (ч.1)».

Подписывайтесь на группу ВКонтакте, Telegram и YouTube-канал. Там еще больше полезного и интересного для программистов.