Бросок тела с высоты, моделируем на Python

Добрый день, уважаемые читатели. Сейчас вы читаете довольно специфичную статью для нашего блога. Как вы могли заметить, мы начали экспериментировать и публиковать статьи на тематику математики. Также, я хотел бы начать цикл статей про физику, начиная с самых азов. И сегодняшней темой стал бросок тела с высоты паралельно горизонту.

Примечание. Те, кто зашёл сюда из интереса к физике, не пугайтесь названия языка программирования в заголовке статьи. Программированию будет посвящен последний раздел, до этого будет лишь обсуждение физических процессов.

Подпишись на группу Вконтакте и Телеграм-канал. Там еще больше полезного контента для программистов.
А на YouTube-канале ты найдешь обучающие видео по программированию. Подписывайся!

Сегодня мы рассматриваем следующую ситуацию: мы кидаем тело вниз с определённой высоты с некой начальной скоростью паралельно земле, так, чтобы его траектория выглядела так:

Равноускоренное движение

Разберём физику равноускоренного движения. Допустим, что тело начало двигаться с состояния покоя равноускоренно. Примем ускорение за $a$ , а скорость за $v$ и рассмотрим изменение $v$ относительно изменения времени $t$ .

Условно разделим временной промежуток на равные отрезки и примем их за $\Delta t$ . Если их количество равно $n$ , то $\Delta t \cdot n = t$ .

В конце первого промежутка $\Delta t$ $v_1 = a \cdot \Delta t$ , после второго $v_2 = 2 \cdot a \cdot \Delta t$ и т.д. Общая формула: $v_n = n \cdot a \cdot \Delta t \Rightarrow v_n = a \cdot t$ .

Следовательно, если у тела была какая-то начальная скорость, а оно двигается равноускоренно с ускорением $a$ , то его скорость через $t$ равна $v = v(t) = v_0 + a \cdot t$ . Этим мы и будем пользоваться в дальнейшем.

Бросок тела

Предположим, что мы бросаем тело (примем его за материальную точку, не имеющую массу) с высоты $h$ паралельно земле со начальной скоростю $v_0$ . Обозначим вертикальную скорость тела (которая изначально равна 0 и меняется под воздействием силы тяжения) $v_y$ и рассмотрим его изменение в зависимости от $t$ .

Не будем рассматривать законы притяжения двух тел и примем ускорение свободного падения за $g = 9.81$ (в некоторых задачах для облегчения рассчетов $g$ часто равно 10). $g$ — обычное ускорение, вследствии чего $v_y = g \cdot t$ (см. Равноускоренное движение). Горизонтальная скорость $v_x$ , которую мы сами придаём телу, с истечением времени не изменяется ( $v_x = v_0$ ).

Теперь вычислим моментальную скорость тела. Скорость — векторная величина, которая имеет своё направление. Очевидно, что $v_x$ и $v_y$ перпендикулярны между собой, вследствии чего их результирующая скорость равна $v = v(t) = \sqrt{v_y^2 + v_x^2} = \sqrt{(gt)^2 + v_0^2}.$

Путь, пройденный под воздействием равноускоренного движения

Мы не знаем формулу, как вычислить путь (обозначим $S$ , пройденный телом за время $t$ , если оно двигается равноускоренно с ускорением $a$ , но мы можем её вывести. Снова разобъём наш временной промежуток на $n$ частей, равных $\Delta t$ .
В конце нулевого промежутка (когда скорость не поменяется) $S_1 = S(t) = v_0 \cdot \Delta t$ .
После первого промежутка, когда скорость увеличилась $S_2 = S(t) = v_0 \cdot t + (v_0 + a \Delta t) \cdot \Delta t$ .
По истечению n-го промежутка, когда скорость увеличивалась n — 1 раз: $S_n = S(t) = v_0 \cdot \Delta t + (v_0 + a \Delta t) \cdot \Delta t + \ldots + (v_0 + (n-1)a \Delta t) \cdot \Delta t$ .

Преобразуем полученное выражение:

$S_n = S(t) = v_0 \cdot \Delta t + (v_0 + a \Delta t) \cdot \Delta t + \ldots + (v_0 + (n-1)a \Delta t) \cdot \Delta t =$

$= \Delta t(v_0 + (v_0 + a \Delta t) + \ldots + (v_0 + (n-1)a\Delta t) = \Delta t(nv_0 + a \Delta t + 2a\Delta t + \ldots + (n-1)a \Delta t) =$

$= v_0 \cdot t + \frac{na\Delta t^2}{2}(n-1) = v_0 \cdot t + \frac{na\Delta t^2}{2}(\frac{t - \Delta t}{\Delta t}) = v_0 \cdot t + \frac{na\Delta t(t - \Delta t)}{2} = v_0 \cdot t + \frac{at^2 - a\Delta t}{2}$

Те, кто знаком с определением определённого интеграла, понимают, что мы будем дальше делать. Т.к. скорость увеличивается равномерно, то размер каждого временного промежутка $\Delta t$ должно стремится к 0. Вычислим границу $S(t)$ при $\Delta t \to 0$ .

$\lim_{\Delta t \to 0}{S(t)} = \lim_{\Delta t \to 0}{v_0 \cdot t + \frac{at^2 - a\Delta t}{2}} = \lim_{\Delta t \to 0}{v_0 \cdot t + \frac{at^2 - a \cdot 0}{2}} = v_0 \cdot t + \frac{at^2}{2}$

Это и есть конечная формула для расчёта пути при равноускоренном движении.

Бросок тела, время полёта и вычисление координат

Из полученной выше формулы, вычислим время полёта, обозначив его $t_{max}$ . Полёт длится до тех пор, пока высота, на которой находится тело, не равна нулю. Если высота это $h$ , то мы получаем $h = \frac{g t_{max}^2}{2} \Rightarrow t_{max} = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ .

Если мы хотим изобразить график изменения положения тела в системе координат, где (0, 0) — подножье «горы», откуда мы кидаем тело, то нам необходимо научиться вычислять координаты тела в этой системе в зависимости от времени. Таким образом мы получаем функцию, заданую параметрически:

$x = x(t) = h - \frac{gt^2}{2}$

$y = y(t) = v_0 \cdot t}$

Начнём с координаты $x$ , которая является текущей высотой тела. За время $t$ , как мы уже знаем, тело пролетит «вниз» ( $\Delta h$ ) : $\frac{g t^2}{2}$ . В следствии чего, текущая высота тела равна $h = h(t) = h_0 - \frac{g t^2}{2}$ .

Координата $y$ зависит только от $v_y$ , и потому равна $v_y \cdot t$ .

Также вычислим угол наклона вектора результирующей скорости:

$tg(\alpha) = \frac{v_y}{v_x} = \frac{gt}{v_0}$

Как заключение, привожу полный список формул.

$\boxed{v = v(t) = v_0 + at}$

$\boxed{S = S(t) = v_0 \cdot t + \frac{at^2}{2}}$

$\boxed{v = v(t) = \sqrt{v_y^2 + v_x^2} = \sqrt{(gt)^2 + v_0^2}}}$

$\boxed{v_x = v_0}$

$\boxed{v_y = g \cdot t}$

$\boxed{x = h - \frac{gt^2}{2}}$

$\boxed{y = v_y \cdot t}$

$\boxed{tg(\alpha) = \frac{v_y}{v_x} = \frac{gt}{v_0}}$

$\boxed{t_{max} = \sqrt{\frac{2h}{g}}}$

Траектория падения в виде графика на Python

Теперь займёмся построением траектории падения тела. Я предлагают создать класс Fall, в котором мы определим следующие методы:

x(t) — координата на Ox в зависимости от аргумента t
y(t) — координата на Oy в зависимости от аргумента t
max_time() — возвращает время падения тела

Для реализации задуманного, я предлагаю использовать matplotlib и numpy. Также, я использую jupyter-themes для изменения стиля графика.

In[1]:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from jupyterthemes import jtplot

class Fall(object):

    # выберем более точное значение g
    g = 9.8066

    def __init__(self, h, v0):
        self.__h = h
        self.__v0 = v0

    def y(self, t):
        return self.__h - (Fall.g * (t**2))/2

    def x(self, t):
        return self.__v0 * t

    def max_time(self):
        return np.sqrt(2 * self.__h / Fall.g)

Теперь создадим экземпляр класса Fall со значением высоты в 50 и скорости 10. Также построим график в matplotlib.

In[2]:
h = 50; v0 = 10;

fall = Fall(h, v0)
t_max = fall.max_time()

jtplot.style('onedork')
plt.figure(figsize=(14, 7))
plt.ylim([0, h * 1.2])
plt.xlim([0, (v0 * t_max) * 1.2])

t = np.linspace(0, t_max, 1000)
x = fall.x(t)
y = fall.y(t)

plt.plot(x, y, color='red', linewidth=2, label=' \n ')
plt.legend(loc='upper right', 
            fontsize=27, 
            title='Движение тела')

Мы используем методы x() и y(), чтобы вычислить координаты тела для значений из отрезка [0, max_time]. Также, используя разметку LaTeX, я создал легенду для графика в правом верхнем углу (с помощью plt.legend).

Взглянем на результат:

Взглянув на этот график, мы можем с легкостью понять, что тело пролетело вперёд ~32 метра до падения.

Заключение

Сегодня мы рассмотрели бросок тела с высоты, паралельно земле и физический процесс, связанный с этим событием. Также, мы построили график, который отражает траекторию движения тела под воздействием силы притяжения.

Желаю вам огромной кинетической энергии и большого ускорения.
Документ, в котором вкратце описаны идеи статьи находится по ссылке.

Также подписывайтесь на группу ВКонтакте, Telegram и YouTube-канал. Там еще больше полезного и интересного для программистов.