Бросок тела под углом к горизонту. Моделируем на Python.

Добрый день, уважаемые читатели CodeBlog. Эта статья является продолжением статьи про бросок тела с высоты. Советую ознакомиться с материалом прошлой статьи из рубрики «Физика», ведь очень много вещей мы разобрали и доказали именно там. Здесь мы будем использовать только формулы, которые мы доказали ранее.
И на повестке дня — бросок тела под углом к горизонту.

Примечание. Те, кто зашёл сюда из интереса к физике, не пугайтесь названия языка программирования в заголовке статьи. Программированию будет посвящен последний раздел, до этого будет лишь обсуждение физических процессов.

Подпишись на группу Вконтакте и Телеграм-канал. Там еще больше полезного контента для программистов.
А на YouTube-канале ты найдешь обучающие видео по программированию. Подписывайся!

Бросаем камень

Предположим, что мы находимся на земле и бросаем камень (или любой другой предмет) под углом $\alpha$ к горизонту (условимся, что земля под ногами идеально ровная, а сопротивления воздуха не существует). Также пусть мы совершаем бросок со скоростью $v_0$ .

Наша задача: изучить, как долго будет лететь камень, какой максимальной высоты он достигнет и сколько пролетит расстояния в горизонтальном направлении. Начнём.

Т.к. мы бросаем камень под углом, разложим скорость (векторную величину) на $v_y$ и $v_x$ , то есть вертикальную и горизонтальную составляющие скорости. Используя прямоугольный треугольник и соотношения тригонометрических функций с его сторонами, получаем $v_{y0} = v_0 \cdot sin \alpha$ , а $v_{x0} = v_0 \cdot cos \alpha$ .

кривой рисуночек треугольника из пейнта авторского создания

Вверх и только вверх!

Тело набирает высоту, пока вертикальная составляющая его скорости не равна нулю. Т.к. на тело действует ускорение свободного падения, которое уменьшает его скорость, закон изменения $v_y$ выглядит таким образом:

$v_y = v_{y0} - g \cdot t$

Приравняв $v_y$ к нулю, мы можем найти время, за которое тело достигает максимальной высоты:

$t_p = \frac{v_{y0}}{g} = \frac{v_0 \cdot sin \alpha}{g}$

Также мы с легкостью можем вычислить высоту, которую достигает наш объект в зависимости от времени:

$h = v_{y0} \cdot t - \frac{g \cdot t^2}{2}$

Примечание. Как проверить правильность этой формулы? Во-первых, проверить размерность. Здесь у нас размерность:

$[h] = \frac{m \cdot c}{c} - \frac{m \cdot c^2}{c^2} = m - m = m$

Во-вторых, воспользоваться математикой. Разумно предположить, что траектория полёта (т. е. график $h(t)$ ) является параболой, схожей на график функции $f(x) = - x^2$ . $f(x)$ является выпуклой вверх. Это можно доказать, используя свойство второй производной:

$\frac{df}{d^2t} = -2$

Вторая производная на всех области определения функции отрицательна, то есть функция всегда выпукла вверх. У нас такая же ситуация, ведь:

$\frac{dh}{d^2t} = -g$

Т. к. $g$ — константа равная ~ 10, то вторая производная функции $h(t)$ также всегда отрицательна, т. е. $h(t)$ описывает параболу, выпуклую вверх.

Сколько летит тело?

Т. к. мы не будем учитывать сопротивление воздуха, то горизонтальная составляющая скорости $v_x$ не изменяется, а расстояние, которое пролетело тело в горизонтальном направлении вычисляется по формуле:

$l = v_x \cdot t = v_{x0} \cdot t = v_0 \cdot cos \alpha \cdot t$

Далее логично предположить, что тело будет упадёт на землю за время, равное двойному времени подъёма на максимальную высоту. Докажем это. Максимальная высота подъёма равна:

$h_{max} = \frac{(v_0 \cdot sin \alpha)^2}{2g}.$

Рассмотрим, за какое кол-во времени тело опустится с такой высоты, учитывая, что на него действует только ускорение свободного падения.

$\frac{gt^2}{2} = \frac{(v_0 \cdot sin \alpha)^2}{2g}$

$t^2 = \frac{(v_0 \cdot sin \alpha)^2}{g^2}$

$t = \frac{v_0 \cdot sin \alpha}{g} = t_p$

Таким образом, время полёта равняется двойному времени подъёма, а точка достижения максимальной высоты находится ровно по центру траектории движения.

Визуализируем траекторию с помощью Python

Для визуализации траектории я буду использовать matplotlib, а для выполнения вычислений — NumPy. Также я установлю стиль для графика с помощью jupyterthemes.jtplot.

In[1]:
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from jupyterthemes import jtplot

jtplot.style('onedork')

Далее мы реализуем функцию, которая будем производить вычисление $x$ и $y$ в зависимости от $t$ .

In[2]:
def plot_trace(v0, alpha, file=None, **kwargs):
    # acceleration of gravity
    g = 9.8066

    # time to max height
    tp = v0 * np.sin(alpha) / g

    # converting to time range
    t = np.linspace(0, 2 * tp, 1000)

    # x axis
    x = v0 * np.cos(alpha) * t

    # y axis
    y = v0 * np.sin(alpha) * t - g * (t**2) / 2

    # change size for figure
    plt.figure(figsize=(20, 10))

    plt.plot(x, y, **kwargs)

    # xlim
    plt.xlim([-1, np.max(x) * 1.1])

    # ylim
    plt.ylim([-1, np.max(y) * 1.1])

    # axis labels
    plt.xlabel('X', fontsize=24)
    plt.ylabel('Y', fontsize=24)

    # chart title
    plt.title(f'', fontsize=32)

    plt.grid(True)

    # set legend
    if 'label' in kwargs:
        plt.legend(loc='best', fontsize=32)

    if file is not None:
        plt.savefig(file)

К сожалению, описание базовых функций matplotlib.pyplot выходит за рамки этой статьи, однако если вы не понимаете, что делает та или иная функция, просто введите поисковый запрос типа '<name of function examples>'.

Для $v_0 = 30$ и $\alpha = 0.25$ функция работает следующим образом:

In[3]:
plot_trace(30, 0.5, label='trace', color='g')

Заключение

В этой статье мы рассмотрели физику такого процесса, как бросок тела под углом к горизонту и создали функцию отображения траектории полёта, используя язык программирования Python. Данная функция имеет возможность сохранить полученный результат в графический файл, а также всячески настраивать стиль самого графика.

Советую прочитать статью «Производная. Определение и базовые теоремы«.

А также подписывайтесь на группу ВКонтакте, Telegram и YouTube-канал. Там еще больше полезного и интересного для программистов.